Mi madre espero que yo los platos de la cena.  

This sentence is given in the subjunctive mood. This mood is used to express desires, doubts, the unknown, the abstract, and emotions. Subjunctive sentences often have parts linked by a relative pronoun (que, quien, como). So lave is the conjugation of the verb lavar for the third person singular in the subjunctive mood. Finally:

Mi madre espero que yo lave los platos de la cena.

who do the detectives meet in the cementery: ¿con quién se encuentran los detectives en el cementerio?

cuando era un niño durante el verano salía a jugar con mis mejores amigos, ¿verdad?